Né le 16 décembre 1941 à Strasbourg, dans une famille d’artistes, le père est musicien et la mère, chanteuse. Il joue très tôt au football, au Racing Club de Strasbourg, bien que n’ayant pas toujours un statut de titulaire. Il poursuit des études scientifiques et délaisse dans ce cadre le football à l’âge de 20 ans. Robert Wurtz consacre alors son temps à un doctorat de troisième cycle en biologie végétale. Face à une nécessité pour lui « de ne pas grossir », il décide de reprendre une activité physique, non pas en tant que joueur, mais en tant qu’arbitre de football. Après être devenu arbitre du District du Bas-Rhin en 1962, il devient arbitre de la Ligue d’Alsace en 1965. Puis, il accède à la Fédération en tant qu’arbitre « Interrégional » en 1967.

Par la suite, il devient successivement « Pré-fédéral » en 1968, « Fédéral » en 1969 puis « International » en 1970. Cet arbitre d’1m71 pour 75kg reçoit son écusson d’international en 1972. Robert Wurtz atteint ainsi l’élite du football international à seulement 29 ans, avec l’aide de son mentor Pierre Schwinté. Robert Wurtz s’entraîne physiquement avec son collègue Alsacien, Georges Konrath. Il est amené à arbitrer dans le championnat du Mexique en 1971, et du Brésil en 1974, voyages qui lui permettent de se faire connaître dans la sphère internationale et d’acquérir un surnom : le « Nijinski du sifflet ». Ce surnom lui est donné au vu de ses mouvements et gestes très théâtraux, faits de sauts et d’accélérations fulgurantes. Il est l’arbitre de deux finales de Coupe de France, en 1973 et 1976. Robert Wurtz est également l’arbitre français sélectionné lors de la Coupe du Monde 1978 en Argentine. Il participe au Championnat d’Europe 1980 et arbitre la finale de la Coupe d’Europe des clubs champions en 1977. Robert Wurtz perd son statut d’international en 1987, du fait notamment de ses attitudes trop fantasques sur le terrain. Il redevient à ce titre arbitre « Fédéral 1 ». Il arrête finalement sa carrière en 1990. Robert Wurtz est élu « Meilleur arbitre France Football » à cinq reprises, en 1971, 1974, 1975, 1977 et 1978.

Il exerce huit métiers différents durant sa carrière d’arbitre, montrant la difficulté de concilier l’arbitrage à son activité professionnelle. Il ne se reconvertit pas dans l’arbitrage, principalement à cause de son caractère atypique. Néanmoins, l’une de ses reconversions s’effectue à la télévision, en tant qu’arbitre de l’émission « Intervilles » de 1998 à 2007, jusqu’à ce qu’il soit victime d’un AVC sur l’un des tournages.